במתמטיקה, תת-קבוצה של מרחב טופולוגי נקראת שום מקום צפוף או נדיר אם לסגירתו יש פנים ריק. במובן רופף מאוד, מדובר בסט שמרכיביו אינם מקובצים בחוזקה בשום מקום. לדוגמה, המספרים השלמים אינם צפופים בשום מקום בין הריאליים, בעוד שכדור פתוח אינו.
האם 1 N בשום מקום צפוף?
דוגמה לקבוצה שאינה סגורה אך עדיין לא צפופה בשום מקום היא {1n|
∈N}. יש לו נקודת גבול אחת שאינה בקבוצה (כלומר 0), אבל הסגירה שלו עדיין לא צפופה בשום מקום, כי אין מרווחים פתוחים שמתאימים ל-{1n|n∈N}∪{0}.
איך מוכיחים שסט אינו צפוף בשום מקום?
תת-קבוצה A ⊆ X נקראת בשום מקום צפוף ב-X אם החלק הפנימי של הסגירה של A ריק, כלומר (A)◦=∅. אחרת, A אינו צפוף בשום מקום אם הוא כלול בסט סגור עם פנים ריק. מעבר למשלים, נוכל לומר באופן שווה ש-A אינו צפוף בשום מקום אם המשלים שלו מכיל קבוצה פתוחה צפופה (למה?).
מה המשמעות של צפוף בכל מקום?
תת-קבוצה A של מרחב טופולוגי X צפופה שעבורה הסגר הוא כל המרחב X (יש מחברים שמשתמשים בטרמינולוגיה בכל מקום צפוף). הגדרה חלופית נפוצה היא: קבוצה A שחותכת כל תת-קבוצה פתוחה לא ריקה של X.
האם כל סט צפוף פתוח?
חלל טופולוגי X מקושר אם ורק אם כל קבוצה לא ריקה פתוח צפופה ב-X. מרחב טופולוגי הוא תת-מקסימלי אם ורק אםכל תת-קבוצה צפופה פתוחה.
