שלמות המרחב המטרי לא נשמר על ידי הומיאומורפיזם.
מה משמר ההומיאומורפיזם?
הומיאומורפיזם, הנקרא גם טרנספורמציה מתמשכת, הוא יחס שקילות והתכתבות אחת לאחד בין נקודות בשתי דמויות גיאומטריות או במרחבים טופולוגיים שהיא רציפה בשני הכיוונים. הומיאומורפיזם שמשמר גם distances נקרא איזומטריה.
האם הומיאומורפיזם משמר את הקומפקטיות?
3.3 מאפיינים של חללים קומפקטיים
ציינו קודם לכן שדחיסות היא תכונה טופולוגית של חלל, כלומר היא נשמרת על ידי הומיאומורפיזם. אפילו יותר, הוא נשמר על ידי כל פונקציה רציפה.
האם השלמות היא תכונה טופולוגית?
השלמות אינה תכונה טופולוגית, כלומר, לא ניתן להסיק אם מרחב מטרי שלם רק על ידי הסתכלות על המרחב הטופולוגי הבסיסי.
מדוע גבולות אינם תכונה טופולוגית?
עבור רווחים מטריים יש לנו מושג של מוגבלות: כלומר מרחב מטרי מוגבל אם יש מספר ממשי M כך ש-d(x, y) ≤ M עבור כל x, y. גבולות היא לא תכונה טופולוגית. לדוגמה, (0, 1) ו-(1, ∞) הם הומיאומורפיים אבל אחד מוגבל ואחד לא. ∞ n=1 הוא רצף של נקודות ב-X.
