תנו ל-P להיות תת-קבוצת Sylow p של G. … אם G פשוט, אז יש לה 10 תת-קבוצות מסדר 3 ו-6 תת-קבוצות מסדר 5. עם זאת, מכיוון שקבוצות אלו הן כולן מחזוריות בסדר ראשוני, כל רכיב לא טריוויאלי של G כלול לכל היותר באחת מהקבוצות האלה.
האם קבוצות P מחזוריות?
הקבוצה הטריוויאלית היא הקבוצה היחידה של סדר 1, והקבוצה המחזורית C p היא הקבוצה היחידה של סדר p.
האם תת-קבוצות הן מחזוריות?
משפט: כל תת-הקבוצות של קבוצה מחזורית הן מחזוריות. אם G=⟨a⟩ הוא מחזורי, אז עבור כל מחלק d של |G| קיימת בדיוק תת-קבוצה אחת של סדר d שיכולה להיווצר על ידי a|G|/d a | G | / ד. הוכחה: תן |G|=dn | G |=d n.
האם קבוצות המשנה של P Sylow תקינות?
אם ל-G יש בדיוק תת-תת-קבוצה אחת של Sylow, זה חייב להיות נורמלי מתת-קבוצה ייחודית של סדר נתון הוא Normal. נניח שתת-קבוצת Sylow p היא תקינה. ואז זה משתווה לצמידות שלו. לפיכך, לפי משפט Sylow השלישי, יכולה להיות רק תת-קבוצה אחת כזו של Sylow p.
האם תתי-הקבוצות P-sylow הן אבליות?
אנו מוכיחים שתת-הקבוצות של Sylow p של קבוצה סופית G הן abelian אם ורק אם גדלי המחלקות של ה-p-אלמנטים של G הם כולם ראשוניים ל-p, ו, אם p ∈ { 3, 5 }, המידה של כל תו בלתי ניתן לצמצום בבלוק ה-p הראשי של G היא ראשונית ל-p.
