באופן כללי, המכפלה של שתי תת-קבוצות S ו-T היא תת-קבוצה אם ורק אם ST=TS, ונאמר ששתי תת-הקבוצות מתחלפות.
מה הופך תת-קבוצה לתת-קבוצה?
תת-קבוצה H של הקבוצה G היא תת-קבוצה של G if ורק אם היא לא ריקה וסגורה תחת מוצרים והיפוכים . … הזהות של תת-קבוצה היא זהות הקבוצה: אם G היא קבוצה בעלת זהות eG, ו-H היא תת-קבוצה של G עם זהות eH, ואז eH=eG.
למה ההצטלבות של שתי תת-קבוצות היא תת-קבוצה?
מכיוון שלפחות אלמנט הזהות 'e' משותף גם ל-H1 וגם ל-H2. מאז H1 ו-H2 הן תת-קבוצות. לפיכך, H1 ∩ H2 היא תת-קבוצה של G וזה המשפט שלנו, כלומר החיתוך של שתי תת-קבוצות של קבוצה הוא שוב תת-קבוצה.
האם המכפלה של שתי תת-קבוצות רגילות רגילה?
תוצר משנה של תת-קבוצות רגילות is Normal.
האם איחוד של שתי תת-קבוצות הוא תת-קבוצה אם לא תן דוגמה?
אם קבוצה G היא איחוד של שתי תת-קבוצות מתאימות H1 ו-H2, אז חייבים להיות לנו H1⊄H2 ו-H2⊄H1, אחרת G=H1 או G=H2 וזה בלתי אפשרי מכיוון ש-H1, H2 הם תקינים תת קבוצות. ואז G=H1∪H2 היא תת-קבוצה של G, האסורה לפי חלק (א). לפיכך, כל קבוצה לא יכולה להיות איחוד של תת-קבוצות ראויות.
