באופן כללי, התכנסות נקודתית אינה מרמזת על התכנסות במידה. עם זאת, עבור מרחב מידה סופי, זה נכון, ולמעשה נראה בסעיף זה שהרבה יותר נכון.
האם התכנסות כמעט בכל מקום מרמזת על התכנסות במידה?
מרחב המידה המדובר הוא תמיד סופי מכיוון שמידות הסתברות מקצות הסתברות 1 לרווח כולו. במרחב מידה סופי, כמעט בכל מקום התכנסות מרמזת על התכנסות במידה. לכן כמעט התכנסות מרמזת על התכנסות ב-probability.
האם התכנסות נקודתית מרמזת על המשכיות?
למרות שכל fn הוא רציף על [0, 1], הגבול הנקודתי שלהם f אינו (הוא לא רציף ב-1). לפיכך, התכנסות נקודתית אינה, באופן כללי, משמרת המשכיות.
האם התכנסות ב-L1 מרמזת על התכנסות נקודתית?
אז התכנסות נקודתית, התכנסות אחידה והתכנסות L1 אינן רומזות אחת על השנייה. עם זאת, יש לנו כמה תוצאות חיוביות: משפט 7 אם fn → f ב-L1, אז יש רצף משנה fnk כך ש-fnk → f נקודתית a.e.
מהי התכנסות בתורת המידה?
במתמטיקה, ליתר דיוק תורת המדידות, ישנם מושגים שונים של התכנסות של מדדים. לקבלת תחושה כללית אינטואיטיבית למה הכוונה בהתכנסות במידה, שקול רצף של מדדים μ על רווח, חולק אוסף משותףשל ערכות מדידות.
