הוכחה באמצעות אינדוקציה מורכבת מ-שני מקרים. הראשון, מקרה הבסיס (או הבסיס), מוכיח את ההצהרה עבור n=0 מבלי להניח שום ידע על מקרים אחרים. המקרה השני, שלב האינדוקציה, מוכיח שאם ההצהרה מתקיימת עבור כל מקרה נתון n=k, אז היא חייבת להתקיים גם עבור המקרה הבא n=k + 1.
מהי הוכחה באינדוקציה והוכחה בסתירה?
בהוכחה, אתה רשאי להניח X, ולאחר מכן להראות ש-Y נכון, באמצעות X. • מקרה מיוחד: אם אין X, אתה רק צריך להוכיח Y או נכון ⇒ Y. לחלופין, אתה יכול לבצע הוכחה בסתירה: נניח ש-Y הוא שקר, והראה ש-X שקרי. • זה מסתכם בהוכחה.
האם הוכחה באמצעות אינדוקציה תקפה?
נכון לכל המספרים הטבעיים k. אמנם זה הרעיון, אבל ההוכחה הפורמלית לכך שהאינדוקציה המתמטית היא טכניקת הוכחה חוקית נוטה להסתמך על העיקרון המסודר היטב של המספרים הטבעיים; כלומר, שכל קבוצה לא ריקה של מספרים שלמים חיוביים מכילה אלמנט לפחות. ראה, למשל, כאן.
מדוע אינדוקציה היא הוכחה תקפה?
אינדוקציה מתמטית היא טכניקת הוכחה תקפה מכיוון שאנו משתמשים במספרים טבעיים ועושים זאת כבר זמן רב. אינדוקציה מתמטית היא שיטה להנמקה והוכחת תכונות לגבי מספרים טבעיים.
למה אינדוקציה היא טכניקת הוכחה חוקית?
אינדוקציה רק אומרת ש-P(n) חייב להיות נכון עבור כל המספרים הטבעייםכי אנחנו יכולים ליצור הוכחה כמו זו שלמעלה עבור כל טבעי. ללא אינדוקציה, אנו יכולים, עבור כל n טבעי, ליצור הוכחה ל-P(n) - האינדוקציה רק ממסדת זאת ואומרת שמותר לנו לקפוץ משם ל-∀n[P(n)].
